题目

题目描述

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.

斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例1

输入：n = 2
输出：1

示例2

输入：n = 5
输出：5

题解

递归

把f(n) 拆解 为f(n-1)和f(n-2)递归计算，以f(1)和f(0)为终止条件。
大量重复递归计算，会直接超时。
时间复杂度：O($2^n$)
空间复杂度：O(n)

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n <= 0:
            return n
        return self.fib(n-1) + self.fib(n-2)

动态规划

• 状态定义：dp为一维数组，dp[i]为斐波那契数列的第i个值。
• 转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。
• 初始状态：dp[0] = 0, dp[1] = 1。

时间复杂度：O(n)，循环n次，每次O(1)。
空间复杂度：O(n)，dp[n]占用O(n)。

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        if n <= 0:
            return n
        dp = []
        dp.append(0)
        dp.append(1)
        for i in range(2, n+1):
            dp_tmp = (dp[i-1] + dp[i-2]) % 1000000007
            dp.append(dp_tmp)
        return dp[n]

动态规划（空间优化）

利用 辅助变量使a, b 交替前进，节省了dp[]列表空间。
时间复杂度：O(n)，循环n次，每次O(1)。
空间复杂度：O(1)，变量占用O(1)。

class Solution:
    def fib(self, n: int) -> int:
        a, b = 0, 1
        for _ in range(n):
            a, b = b, a + b
        return a % 1000000007